Вторник20 ноября
Образование

Как нарисовать пятиугольную призму? Объем и площадь поверхности фигуры

7 ноября 2018

Пятиугольная призма при решении задач по геометрии встречается гораздо реже, чем такие призмы, как треугольная, четырехугольная или шестиугольная. Тем не менее полезно рассмотреть основные свойства этой фигуры, а также узнать, как ее можно нарисовать.

Что собой представляет пятиугольная призма?

Речь идет об объемной фигуре, основания которой являются пятиугольниками, а боковые стороны - параллелограммами. Если каждый из этих параллелограммов будет перпендикулярен параллельным основаниям, то такая призма называется прямоугольной. Боковая поверхность прямоугольной пятиугольной призмы составлена из пяти прямоугольников. Причем прилегающая к основанию сторона каждого из них равна соответствующей длине стороны пятиугольника.

Правильная пятиугольная призма

Если пятиугольник будет правильным, то есть все его стороны и углы будут равны друг другу, тогда такая прямоугольная призма называется правильной. Далее в статье будем рассматривать свойства именно этой фигуры.

Элементы призмы

Для нее, как и для любой призмы, характерны следующие элементы:

  • грани или стороны - это части плоскостей, ограничивающих фигуру в пространстве;
  • вершины - точки пересечения трех сторон;
  • ребра - отрезки пересечения двух сторон фигуры.

Числа всех названных элементов связаны друг с другом следующим равенством:

Число ребер = число вершин + число граней - 2

Это выражение носит название формулы Эйлера для полиэдра.

В пятиугольной призме количество сторон равно семи (два основания + пять прямоугольников). Число вершин составляет 10 (по пять для каждого основания). Число ребер в таком случае будет равно:

Число ребер = 10 + 7 - 2 = 15

Десять ребер принадлежат основаниям призмы, а пять ребер образованы прямоугольниками.

Видео по теме

Как начертить пятиугольную призму?

Ответ на этот вопрос зависит от конкретной задачи. Если необходимо начертить произвольную призму, тогда следует изобразить любой пятиугольник. После этого провести пять параллельных отрезков равной длины из каждой вершины пятиугольника. Затем, соединить верхние концы отрезков. Получилась пятиугольная произвольная призма.

Если же следует начертить правильную призму, тогда вся сложность задачи сводится к получению правильного пятиугольника. Существует несколько способов начертить этот многоугольник. Здесь мы рассмотрим только два способа.

Цветок - правильный пятиугольник

Первый способ заключается в построении окружности с помощью циркуля. Затем проводится произвольный диаметр окружности и от него отсчитывается с помощью транспортира пять углов по 72o (5*72o = 360o). При отсчете каждого угла делается насечка на окружности. Для построения прямоугольника остается соединить прямыми отрезками отмеченные насечки.

Второй способ предполагает использование только циркуля и линейки. Он является несколько сложным в сравнении с предыдущим. Ниже приводится видео, где подробно объясняется каждый шаг такого построения.

Заметим, что пятиугольник легко нарисовать, если соединить концы звезды. Если нет необходимости чертить точно правильный пятиугольник, тогда можно использовать способ со звездой, нарисованной от руки.

Как только пятиугольник изображен, следует из каждой его вершины провести пять одинаковых параллельных отрезков и соединить их вершины. Получится пятиугольная призма.

Площадь фигуры

Теперь рассмотрим вопрос, как найти площадь пятиугольной призмы. На рисунке ниже приведена ее развертка. Видно, что искомая площадь образована двумя одинаковыми пятиугольниками и пятью равными друг другу прямоугольниками.

Развертка пятиугольной призмы

Площадь всей поверхности фигуры выразится формулой:

S = 2*So + 5*Sp

Здесь индексы o и p означают основание и прямоугольник соответственно. Обозначим длину стороны пятиугольника как a, а высоту фигуры как h. Тогда для прямоугольника запишем:

Sp = a*h

Чтобы вычислить площадь пятиугольника, воспользуемся универсальной формулой:

Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)

Где n - число сторон многоугольника. Подставляя n = 5, получаем:

S5 = 5/4*a2*ctg(pi/5) ≈ 1,72*a2

Точность полученного равенства составляет 3 знака после запятой, что вполне достаточно для решения любых задач.

Теперь остается найти сумму полученных площадей основания и боковой поверхности. Имеем:

S = 2*1,72*a2 + 5*a*h = 3,44*a2 + 5*a*h

Следует помнить, что полученная формула справедлива только для прямоугольной призмы. В случае с косоугольной фигурой площадь ее боковой поверхности находят, исходя из знания периметра среза, который должен быть перпендикулярен всем параллелограммам.

Косоугольная пятиугольная призма

Объем фигуры

Формула расчета объема пятиугольной призмы ничем не отличается от аналогичного выражения для любой другой призмы или цилиндра. Объем фигуры равен произведению ее высоты на площадь основания:

V = So*h

Если рассматриваемая призма является прямоугольной, тогда высота в ней является длиной ребра, образованного прямоугольниками. Площадь правильного пятиугольника была вычислена выше с высокой точностью. Подставим это значение в формулу для объема и получим необходимое выражение для пятиугольной правильной призмы:

V = 1,72*a2*h

Таким образом, вычисление объема и площади поверхности пятиугольной правильной призмы возможно, если известна сторона основания и высота фигуры.

Источник: fb.ru
Похожие материалы
Формулы радиуса шара через его объем и площадь поверхности. Объем планеты Земля Образование
Формулы радиуса шара через его объем и площадь поверхности. Объем планеты Земля

Шар является симметричной объемной фигурой, свойства которой рассматривают в школьном курсе геометрии в 8 классе. Данная статья посвящена формулам радиуса шара, позволяющим определить эту величину, зная площадь поверх...

Как нарисовать овал самостоятельно быстро и красиво Дом и семья
Как нарисовать овал самостоятельно быстро и красиво

Овал – геометрическая фигура, которая применяется для отображения отдельных частей предметов интерьера, рисования животных и многого другого. Многие интересуются, как нарисовать овал правильно от руки.Ка...

Как нарисовать тигренка? Рисуем милого и забавного тигрёнка Искусство и развлечения
Как нарисовать тигренка? Рисуем милого и забавного тигрёнка

В статье предложено описание того, как нарисовать тигрёнка. Почему именно его? Маленький тигрёнок – пушистое, мягкое существо с изумительными глазами. Этот большой "кот" вызывает массу нежных чувств и эмоций. Во...

Как нарисовать влюбленную пару красиво и правильно Искусство и развлечения
Как нарисовать влюбленную пару красиво и правильно

В зависимости от времени года и настроения ценителям художественного искусства хочется нарисовать что-то особенное. Часто умельцы владеть карандашом и кистью изображают людей или нескольких, чтобы в полно...

Как нарисовать кружку. Уроки построения и рисованию света и тени Искусство и развлечения
Как нарисовать кружку. Уроки построения и рисованию света и тени

Нарисовать кружку не так просто, как кажется. У нее собственная форма, передать которую нужно уметь. Здесь потребуются начальные навыки рисования, знание перспективы. Представьте, что кружка – это цилиндр. Поста...

Как нарисовать конфету: правильные карандаши и разные способы рисунка Искусство и развлечения
Как нарисовать конфету: правильные карандаши и разные способы рисунка

Начинающие художники должны брать старт с рисования простых предметов. Браться за изображение сложных натюрмортов, мудреных объектов и насыщенных пейзажей не стоит. Всегда нужно приступать к работе, пользуясь правилом...

Как нарисовать футболку: основные рекомендации и шаги Искусство и развлечения
Как нарисовать футболку: основные рекомендации и шаги

Рисование можно считать превосходным увлечением, которое идеально подойдет творческим натурам. Бытует мнение, что для создания красивых изображений требуется талант. Однако при должном усердии данный навык может приоб...

Как нарисовать лимон: простые рекомендации и пошаговые действия Искусство и развлечения
Как нарисовать лимон: простые рекомендации и пошаговые действия

Лимон таит в себе много полезных для организма веществ, его можно использовать практически в любой сфере деятельности, а не только в процессе чаепития. А прочитав данный обзор, вы разберетесь, как нарисовать лимон, ис...

Как нарисовать рождественскую открытку карандашом и красками, выбор сюжета Искусство и развлечения
Как нарисовать рождественскую открытку карандашом и красками, выбор сюжета

Рождественские дни всегда наполнены ощущением сказки и волшебства. Этого праздника ждут не только дети, но и взрослые. И как же приятно родителям получить из детских ладошек поздравительную открытку, сделанную своими ...

Как нарисовать перо птицы быстро и красиво? Искусство и развлечения
Как нарисовать перо птицы быстро и красиво?

В былые времена птичьи перья были весьма популярны, ведь писатели пользовались только ими для создания своих шедевров, макая кончик пера в чернильницу. Оно очень красиво и элегантно выглядит, но как нарисовать перо по...