Вторник20 ноября
Образование

Площадь боковой поверхности правильной призмы треугольной, четырехугольной и шестиугольной

7 ноября 2018

Треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы - это самые распространенные объемные фигуры среди остальных подобных, которые встречаются в быту и природе. Изучением их свойств занимается стереометрия, или пространственная геометрия. В данной статье раскроем вопрос о том, как можно найти площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, а также четырехугольной и шестиугольной.

Что собой представляет призма?

Перед тем как рассчитывать площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы и других видов этой фигуры, следует разобраться, что они собой представляют. Затем научимся определять интересующие величины.

Призмой, с точки зрения геометрии, называется объемное тело, которое ограничено двумя произвольными одинаковыми многоугольниками и n параллелограммами, где n - это число сторон одного многоугольника. Нарисовать такую фигуру легко, для этого следует изобразить какой-нибудь многоугольник. Потом провести из каждой его вершины отрезок, который будет равен по длине и параллелен всем остальным. Затем требуется соединить концы этих линий между собой так, чтобы получился еще один многоугольник, равный исходному.

Пятиугольная призма

Выше видно, что фигура ограничена двумя пятиугольниками (они называются нижним и верхним основаниями фигуры) и пятью параллелограммами, которые на рисунке соответствуют прямоугольникам.

Все призмы отличаются друг от друга двумя главными параметрами:

  • типом многоугольника, лежащего в основании фигуры;
  • углами между параллелограммами и основаниями.

Количество сторон прямоугольника дает название призме. Отсюда получаем выше упомянутые треугольную, шестиугольную и четырехугольную фигуры.

Также они различаются по величине наклона. Что касается отмеченных углов, то если они равны 90o, тогда такую призму называют прямой, или прямоугольной (угол наклона равен нулю). Если некоторые из углов прямыми не являются, то фигура зовется косоугольной. Различие между ними видно с первого взгляда. Рисунок ниже демонстрирует эти разновидности.

Прямая и косоугольная призмы

Как видно, высота h прямой призмы совпадает с длиной ее бокового ребра. В случае косоугольной этот параметр всегда меньше.

Какая призма называется правильной?

Поскольку мы должны ответить на вопрос о том, как найти площадь боковой поверхности правильной призмы (треугольной, четырехугольной и так далее), то нужно дать определение этому типу объемной фигуры. Разберем материал подробнее.

Правильная призма - это прямоугольная фигура, у которой правильный многоугольник образует идентичные основания. Этой фигурой может быть треугольник равносторонний, квадрат и другие. Любой n-угольник, все длины сторон и углы которого одинаковые, будет правильным.

Ряд таких призм показан схематически на рисунке ниже.

Ряд правильных призм

Видео по теме

Боковая поверхность призмы

Как было сказано в определении призмы, эта фигура состоит из n + 2 плоскостей, которые, пересекаясь, образуют n + 2 грани. Две из них принадлежат основаниям, остальные образованы параллелограммами. Площадь всей поверхности состоит из суммы площадей указанных граней. Если в нее не включать значения двух оснований, тогда мы получаем ответ на вопрос о том, как найти площадь боковой поверхности призмы. Так, можно определить ее значение и оснований отдельно друг от друга.

Ниже приводится развертка треугольной призмы, для которой боковая поверхность образована тремя четырехугольниками.

Развертка треугольной призмы

Рассмотрим процесс вычислений далее. Очевидно, что площадь боковой поверхности призмы равна сумме n площадей соответствующих параллелограммов. Здесь n - это число сторон многоугольника, образующего основание фигуры. Площадь каждого параллелограмма можно найти, если умножить длину его стороны на опущенную на нее высоту. Это касаемо общего случая.

Если изучаемая призма является прямой, тогда процедура определения площади ее боковой поверхности Sb значительно облегчается, поскольку такая поверхность состоит из прямоугольников. В этом случае можно воспользоваться следующей формулой:

Sb = Po*h,

где h - высоты фигуры, Po - периметр ее основания

Правильная призма и ее боковая поверхность

Приведенная в пункте выше формула в случае такой фигуры принимает вполне конкретный вид. Поскольку периметр n-угольника равен произведению числа его сторон на длину одной, то получается следующая формула:

Snb = n*a*h

Где a - длина стороны соответствующего n-угольника.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, четырехугольной и шестиугольной

Воспользуемся формулой выше, чтобы определить необходимые значения для отмеченных трех типов фигур. Расчеты будут выглядеть следующим образом.

Для треугольной формула примет вид:

S3b = 3*a*h

Например, сторона треугольника равна 10 см, а высота фигуры - 7 см, тогда:

S3b = 3*10*7 = 210 см2

В случае четырехугольной призмы искомое выражение принимает форму:

S4b = 4*a*h

Если взять те же значения длин, что и в предыдущем примере, тогда получаем:

S4b = 4*10*7 = 280 см2

Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы рассчитывается по формуле:

S6b = 6*a*h

Подставляя те же числа, что и в предыдущих случаях, имеем:

S6b = 6*10*7 = 420 см2

Заметим, что в случае правильной призмы любого типа ее боковая поверхность образована одинаковыми прямоугольниками. В примерах выше площадь каждого из них составляла a*h = 70 см2.

Расчет для косоугольной призмы

Определение значения площади боковой поверхности для данной фигуры выполнить несколько сложнее, чем для прямоугольной. Тем не менее приведенная выше формула остается той же самой, только вместо периметра основания следует взять периметр перпендикулярного среза, а вместо высоты - длину бокового ребра.

Косоугольная призма и срез

Рисунок выше демонстрирует четырехугольную косоугольную призму. Заштрихованный параллелограмм - это и есть тот перпендикулярный срез, периметр которого Psr необходимо рассчитать. Длина бокового ребра на рисунке обозначена буквой C. Тогда получаем формулу:

Sb = Psr*C

Периметр среза можно найти, если известны углы параллелограммов, образующих боковую поверхность.

Источник: fb.ru
Похожие материалы
Правильные многогранники: элементы, симметрия и площадь Образование
Правильные многогранники: элементы, симметрия и площадь

Геометрия прекрасна тем, что, в отличие от алгебры, где не всегда понятно, что и зачем считаешь, дает наглядность объекта. Этот удивительный мир различных тел украшают собой правильные многогранники.Общие свед...

Зазор клапана: каким он должен быть? Инструкция по правильной регулировке клапанов ВАЗ и иномарок Автомобили
Зазор клапана: каким он должен быть? Инструкция по правильной регулировке клапанов ВАЗ и иномарок

Двигатель автомобиля оснащается двумя и более клапанами на цилиндр. Один предназначен для впуска топливной смеси в цилиндр. Другой служит для выпуска отработанных газов. Говоря техническим языком, они называются "впус...

Кислородные баллоны. Правильная заправка - залог здоровья и безопасности Бизнес
Кислородные баллоны. Правильная заправка - залог здоровья и безопасности

Чтобы увлечение дайвингом не преподносило неприятных сюрпризов, а доставляло только удовольствие, нужно соблюдать строгие правила подготовки к погружению в воду. Правильная заправка кислородных баллонов – это од...

Как засушивать цветы правильно? Пошаговая инструкция, рекомендации и особенности Дом и семья
Как засушивать цветы правильно? Пошаговая инструкция, рекомендации и особенности

Цветы – это частичка рая на земле. Дивная красота их уникальна и неповторима. Каждое соцветие чарует, и не важно, полевая травинка это или бутон экзотического растения. Букеты украшают дом, радуют глаз, улучшают...

Уши спаниеля: как правильно ухаживать? Возможные заболевания и их лечение Дом и семья
Уши спаниеля: как правильно ухаживать? Возможные заболевания и их лечение

Спаниели – это самая популярная на сегодняшний день охотничья собака. Это дружелюбное создание готово пройти много километров рядом с хозяином по лесам и болотам, поможет выгнать утку из укрытия и вытащить подст...

Собака водяной спаниель ирландский: правильный уход, описание породы и отзывы Дом и семья
Собака водяной спаниель ирландский: правильный уход, описание породы и отзывы

История возникновения этой породы неизвестна. У ученых есть несколько версий о возможных предках этих собак. Одна из версий гласит, что их прародители – это барбеты или, иначе говоря, исчезнувшая порода английск...

Уход за новорожденным: как правильно пеленать в больнице и дома Дом и семья
Уход за новорожденным: как правильно пеленать в больнице и дома

Одним из важных навыков, которым должен обладать новоиспеченный родитель, является пеленание. Оно помогает постепенно адаптироваться к непривычному миру младенцу, который еще недавно находился в тесной материнской утр...

Как правильно надеть подгузник? Рекомендации и советы Дом и семья
Как правильно надеть подгузник? Рекомендации и советы

Как правильно надеть подгузник? Этим вопросом задаются многие новоиспеченные родители. К сожалению, не у всех пар есть возможность потренироваться в уходе за ребенком непосредственно перед родами. Данное обстоятельств...

Как правильно собирать чемодан: очевидное и невероятное Дом и семья
Как правильно собирать чемодан: очевидное и невероятное

Сейчас мы с вами будем ломать головы над тем, как правильно собирать чемодан, отправляясь в ближние и дальние места нашей планеты на достаточно продолжительное время, чтобы нам понадобились все вещи, которые берем с с...

Как правильно держать новорожденного ребенка и брать его на руки Дом и семья
Как правильно держать новорожденного ребенка и брать его на руки

Вопрос о том, как правильно держать новорожденного ребенка, возникает у многих молодых родителей сразу после рождения малыша.