Понедельник15 октября
Образование

Момент инерции цилиндра сплошного и полого: разное положение осей вращения

12 октября 2018

Знание момента инерции тела позволяет воспользоваться законом сохранения момента импульса либо выражением для описания кругового движения с угловым ускорением. В данной статье рассмотрим, как находить для цилиндра момент инерции при различном положении осей вращения.

Момент инерции: математическое определение

Осевой момент инерции вводится в физику благодаря изучению законов вращательного движения тел. Для точки материальной с массой m, вращающейся на расстоянии r от оси, момент инерции будет равен:

I = m*r2

В общем же случае для тела, которое имеет произвольное распределение вещества в пространстве (любую геометрическую форму), величину I можно вычислить так:

I = ∫r2dm

По сути, это выражение является обобщением предыдущего. В нем производится суммирование (интегрирование) моментов от каждой элементарной частицы dm, дистанция до оси от которой равна r.

Если говорить о физическом значении рассматриваемой величины I, то она показывает, насколько "сильно" система сопротивляется воздействию внешнего момента силы, который пытается ее раскрутить или, наоборот, остановить.

Момент инерции цилиндра относительно оси, его основаниям перпендикулярной

Из приведенной выше формулы можно понять, что величина I является характеристикой всей вращающейся системы, то есть она зависит как от формы тела и распределения в нем массы, так и от относительного положения оси.

В данном пункте рассмотрим простой случай: определить необходимо момент инерции для сплошного цилиндра, ось вращения которого перпендикулярна его основаниям и проходит через гравитационный центр фигуры.

Вращение цилиндра силой тяжести

Для решения проблемы применим интегральную формулу для I. В процессе операции интегрирования мысленно разобьем цилиндр на тонкие колечки толщиной dr. Каждое колечко будет иметь объем: dV = 2*pi*r*dr*h, здесь h - высота фигуры. Учитывая, что dm = ρ*dV, где ρ - плотность цилиндра, получаем:

I = ∫r2dm = ρ*∫r2dV = 2*pi*ρ*h*∫r3dr

Этот интеграл необходимо вычислить для пределов от 0 до R, где R - радиус фигуры. Тогда получим:

I = 2*pi*ρ*h*∫R0r3dr = 2*pi*ρ*h/4*(r4)∣R0 = pi*ρ*h*R4/2

Воспользовавшись формулой для массы цилиндра через его объем и плотность, приходим к конечному выражению:

I = m*R2/2, где m = pi*ρ*h*R2

Мы получили формулу инерции момента цилиндра однородного. Она показывает, что величина I для этой фигуры в 2 раза меньше, чем для материальной точки аналогичной массы, которая вращается на расстоянии радиуса цилиндра от оси.

Видео по теме

Момент инерции полого цилиндра

Теперь оставим ось на том же месте и найдем значение I для цилиндра с пустотой внутри (втулка, труба). Такую фигуру описывают двумя радиусами: внешним R1 и внутренним R2. В этом случае для интегрирования применяется абсолютно тот же подход, что и для сплошного цилиндра, только пределы теперь изменяются от R2 до R1. Имеем:

I = 2*pi*ρ*h/4*(r4)∣R1R2 = pi*ρ*h*R4/2∣R1R2 = pi*ρ*h/2*(R14-R24)

Образование полого цилиндра

Для дальнейшего упрощения этой формулы воспользуемся разложением на множители выражения в скобках, получим:

I = pi*ρ*h*(R12-R22)*(R12+R22)/2

Часть этого выражения вместе с первыми скобками является массой полого цилиндра, поэтому получаем конечную формулу:

I = m*(R12+R22)/2

Отсюда видно, что момент инерции полого цилиндра больше этого значения для сплошного цилиндра аналогичной массы и такого же внешнего радиуса на величину m*R22/2. Этот результат не вызывает удивления, поскольку в полом цилиндре центр масс находится от оси вращения дальше, чем в сплошном.

Полые цилиндры

Величина I для цилиндра, ось вращения которого проходит параллельно плоскостям его основания

В такой системе ось вращения проходит также через центр массы цилиндра, но теперь он лежит как бы на боку (на цилиндрической поверхности, см. рис. ниже).

Расчет для момента инерции цилиндра для такой ситуации является непростой задачей, поскольку требует наличия дополнительных знаний для ее решения. Тем не менее приведем необходимые математические выкладки, чтобы читатели имели более полное представление о проведении интегрирования при вычислении I.

Изменение положения оси вращения

Начинаем решать задачу. Разбиваем сплошной цилиндр на отдельные диски бесконечно малой толщины. Чтобы узнать, каким моментом инерции обладает этот диск относительно оси, которая проходит через него и параллельна его основаниям, необходимо выполнить отдельное интегрирование. Оно дает следующий результат:

Ii = R2*dm/4

Чтобы найти, величину Ii для этого диска относительно уже новой оси, которая рассматривается в задаче, необходимо воспользоваться теоремой Штейнера. Получим:

Ii = R2*dm/4 + L2*dm, здесь L - расстояние от оси до тонкого диска.

Зная, что dm = pi*R2*dL*ρ, подставляем в интегральную формулу для I и проводим интегрирование по пределам (-L0/2; +L0/2), имеем:

I = ∫mIi = ∫m(R2*dm/4 + L2*dm) = pi*R2*ρ*∫L0/2-L0/2(R2*dL/4 + L2*dL)

Решение этого интеграла приводит к конечной формуле:

I = m*(R2/4 + L02/12)

Пример решения задачи

Решим интересную задачу на нахождение осевого момента инерции цилиндра. Пусть он лежит на цилиндрической поверхности, а ось вращения расположена параллельно его основанию и проходит через конец фигуры.

Эта ситуация полностью аналогична рассмотренной в предыдущем пункте, только ось пересекает не гравитационный центр цилиндра, а конец этой фигуры. Тем не менее для решения проблемы можно воспользоваться результатом предыдущего пункта статьи. Применим вышеупомянутую теорему Штейнера, получим:

I = m*R2/4 + m*L02/12 + m*(L0/2)2 = m*R2/4 + m*L02/3

Заметим, что если R<<L0, тогда первым слагаемым можно пренебречь, и формула сводится к равенству:

I = m*L02/3

Этот момент инерции соответствует стержню с осью вращения на его конце.

Источник: fb.ru
Похожие материалы
ВАЗ-2107: замена прокладки головки блока цилиндров. Описание и особенности процедуры Автомобили
ВАЗ-2107: замена прокладки головки блока цилиндров. Описание и особенности процедуры

Двигатель внутреннего сгорания состоит из нескольких частей. Это головка, блок и поддон картера. При работе мотора выделяется огромное количество тепловой энергии. Чтобы его охладить, в блоках предусмотрена рубашка дл...

Лучший мотобуксировщик: отзывы владельцев и характеристики. Достоинства и недостатки разных мотобуксировщиков Автомобили
Лучший мотобуксировщик: отзывы владельцев и характеристики. Достоинства и недостатки разных мотобуксировщиков

Сегодня в зимний период нет более безопасного и «преданного» товарища, чем мотобуксировщик, отзывы о котором всегда самые положительные. Недаром данное устройство пользуется огромной популярностью у соврем...

Головка блока цилиндров: устройство и назначение Автомобили
Головка блока цилиндров: устройство и назначение

Головка блока цилиндров – это важнейшая деталь для каждого современного двигателя. ГБЦ укомплектовываются абсолютно все силовые установки, будь это дизельный автомобиль или бензиновый. Конечно, различия между ни...

Всемирный день без автомобиля: история и опыт разных стран Дом и семья
Всемирный день без автомобиля: история и опыт разных стран

С недавнего времени все большее количество стран ежегодно отмечает Всемирный день без автомобиля. С чем связано появление этой даты и какие события происходят в разных странах? Понаблюдаем за проведением этого дня в р...

Вид аквариумных рыб и совместимость разных видов (таблица) Дом и семья
Вид аквариумных рыб и совместимость разных видов (таблица)

Попадая в зоомагазин, новичок просто теряется – так много рыбок, все они по-своему нравятся, хочется поселить в новеньком аквариуме как можно больше красавцев. Но в выборе соседей есть свои тонкости. Рассмотрим,...

Волнистые попугаи: как определить возраст и пол Дом и семья
Волнистые попугаи: как определить возраст и пол

Для домашнего зооуголка лучше всего подходят попугаи. Идеал...

Швабры для мытья окон и полов: как сделать правильный выбор? Дом и семья
Швабры для мытья окон и полов: как сделать правильный выбор?

Микрофибра – материал, который чаще всего используют для таких предметов и товаров, как швабры для мытья окон. Отличная впитываемость и высокое чистящее свойство становятся здесь главными достоинствами. Саму мик...

Единовременное пособие при рождении ребенка и другие выплаты, положенные молодым мамочкам Дом и семья
Единовременное пособие при рождении ребенка и другие выплаты, положенные молодым мамочкам

 В семье планируется прибавление, или малыш уже появился? Значит финансовых средств теперь тратится гораздо больше. В период беременности требуются витамины и лекарства, после рождения малыша затраты возрастают в...

Размеры строительных бытовок: виды и назначение. Преимущества и недостатки разных конструкций Домашний уют
Размеры строительных бытовок: виды и назначение. Преимущества и недостатки разных конструкций

Перед началом строительства дома или покупки дачного участка возникает вопрос о месте временного хранения вещей и пребывания людей, которые будут проводить там работы. Бытовка деревянная строительная является именно т...

Клей Домашний уют
Клей "Момент" универсальный: виды, описание и области применения

"Момент" – известная торговая марка клея. Применение для него можно найти в любом доме. Далее рассмотрим подробнее, что собой представляет клей "Момент" (универсальный). Технические характеристики продукции такж...