Вторник16 октября
Образование

Сумма геометрической прогрессии бесконечной убывающей и сумма ее квадратов

9 октября 2018

Геометрическая прогрессия представляет собой один из самых интересных числовых рядов, которые рассматривают в школьном курсе алгебры. Данная статья посвящена частному случаю упомянутого ряда: убывающей бесконечной геометрической прогрессии и сумме ее членов.

О каком ряде чисел пойдет речь?

Прогрессией геометрической называют одномерную последовательность действительных чисел, которые связаны друг с другом следующим соотношением:

a2 = a1*r, a3 = a2*r, a4 = a3*r, ...., an = an-1*r

Обобщая выражения выше, можно записать следующее равенство:

an = a1*rn-1

Как понятно из приведенных записей, an - это элемент прогрессии с номером n. Параметр r, на который следует умножить n-1 элемент, чтобы получить n-й, называют знаменателем.

Геометрическая прогрессия

Какими свойствами обладает описанная последовательность? Ответ на вопрос зависит от величины и знака r. Возможны следующие варианты:

  • Знаменатель r положительный и больше 1. Прогрессия в этом случае всегда будет возрастать по модулю, при этом абсолютное значение ее членов может и убывать, если a1 будет отрицательным.
  • Знаменатель r отрицательный и больше 1. В таком случае члены прогрессии будут появляться с чередованием знака (+ и -). Подобные ряды мало интересны для практики.
  • Модуль знаменателя r меньше 1. Этот ряд называется убывающим, причем независимо от знака r. Именно эта прогрессия представляет большой практический интерес, о ней пойдет речь в данной статье.
Пример нахождения члена прогрессии

Формула для суммы

Получим для начала выражение, которое позволит вычислить сумму произвольного количества элементов заданной прогрессии. Начнем решать эту задачу в лоб. Имеем:

Sn = a1+a2+a3+..+an

Приведенным равенством можно пользоваться, если необходимо посчитать результат для небольшого числа членов (3-4 слагаемых), каждый из которых определяется по формуле для n-го члена (см. предыдущий пункт). Однако если слагаемых становится много, то в лоб считать неудобно и можно допустить ошибку, поэтому пользуются специальной формулой.

Обе части равенства выше умножим на r, получаем:

r*Sn = r*a1+r*a2+r*a3+..+r*an = a2+a3+a4+...+an+1

Теперь попарно вычтем левые и правые части этих двух выражений, имеем:

r*Sn - Sn = a2+a3+a4+...+an+1 - (a1+a2+a3+..+an) = an+1 - a1

Выражая сумму Sn и пользуясь формулой для члена an+1, получим:

Sn = (an+1 - a1)/(r-1) = a1*(rn - 1)/(r-1)

Таким образом, мы получили общую формулу для суммы первых n слагаемых рассматриваемого типа числового ряда. Заметим, что формула справедлива, если r≠1. В последнем случае имеет место простой ряд одинаковых чисел, сумма которых вычисляется как произведение одного числа на их количество.

Видео по теме

Как находить сумму бесконечной геометрической прогрессии убывающей?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует напомнить, что ряд будет убывающим, когда |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для Sn:

Sn = a1*(rn - 1)/(r-1)

Заметим, что любое число, модуль которого меньше 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть r->0. Проверить этот факт можно на любом примере:

r = -1/2, тогда (-1/2)**10 ≈ 9,7*10-4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10-7 и так далее.

Различные убывающие геометрические прогрессии

Установив этот факт, обратим внимание на выражение для суммы: при n->∞ оно будет переписано следующим образом:

S = a1*(r - 1)/(r-1) = a1/(1-r)

Получился интересный результат: сумма бесконечной прогрессии геометрической убывающей стремится к конечному числу, которое не зависит от количества слагаемых. Она определяется лишь первым членом и знаменателем. Заметим, что знак суммы однозначно определяется знаком a1, поскольку знаменатель всегда является положительным числом (1-r>0).

Сумма квадратов бесконечной геометрической прогрессии убывающей

Название пункта определяет задачу, которую следует решить. Для этого воспользуемся методикой, которая полностью аналогична той, что применялась для вывода общей формулы для Sn. Имеем первое выражение:

Mn = a12 + a22 + a32 + ... + an2

Умножим обе части равенства на r2, записываем второе выражение:

r2*Mn = r2*a12 + r2*a22 + r2*a32 + ... + r2*an2 = a22 + a32 + a42 ... + an+12

Теперь находим разность этих двух равенств:

r2*Mn - Mn = a22 + a32 + a42 ... + an+12 - (a12 + a22 + a32 + ... + an2) = an+12 - a12

Выражаем Mn и используем формулу для n-го элемента, получаем равенство:

Mn = (an+12 - a12)/(r2-1)=a12*(r2n-1)/(r2-1)

В предыдущем пункте было показано, что r -> 0, тогда конечная формула примет вид:

M= a12*/(1-r2)

Сравнение двух полученных сумм

Сравним две формулы: для бесконечной суммы и бесконечной суммы квадратов на примере следующей задачи: сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 2, известно, что речь идет об убывающей последовательности, для которой знаменатель равен 1/3. Необходимо найти бесконечную сумму квадратов этого ряда чисел.

Воспользуемся формулой для суммы. Выразим a1:

S = a1/(1-r) => a1 = S*(1-r)

Подставляем это выражение в формулу для суммы квадратов, имеем:

M = a12*/(1-r2) = S2*(1-r)2/(1-r2) = S2*(1-r)/(1+r)

Мы получили искомую формулу, теперь можно подставлять известные из условия данные:

M = S2*(1-r)/(1+r) = 22*(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Таким образом, мы получили для бесконечной суммы квадратов такое же значение, что и для простой суммы. Заметим, что этот результат справедлив только для этой задачи. В общем случае M ≠ S.

Задача на вычисление площади прямоугольника

Каждому школьнику известна формула S = a * b, которая определяет площадь прямоугольника через его стороны. Мало кто знает, что задачу нахождения площади этой фигуры можно легко решить, если воспользоваться суммой бесконечной геометрической прогрессии. Покажем, как это делается.

Разделим мысленно прямоугольник пополам. Площадь одной половинки примем за единицу. Теперь поделим вторую половинку еще пополам. Получим две половинки, одну из которых поделим еще пополам. Эту процедуру будем продолжать до бесконечности (см. рисунок ниже).

Площадь прямоугольника

В итоге площадь прямоугольника в выбранных нами единицах будет равна:

S = 1+1/2+1/4+1/8+...

Видно, что эти слагаемые являются элементами убывающего ряда, у которого a1 = 1 и r = 1/2. Воспользовавшись формулой для бесконечной суммы, получим:

S= 1 /(1-1/2) = 2

В выбранном нами масштабе половинка прямоугольника (одна единица) соответствует площади a*b/2. Это означает, что площадь всего прямоугольника равна:

S= 2*a*b/2 = a*b

Полученный результат является очевидным, тем не менее он показал, как можно применять убывающую прогрессию для решения задач в геометрии.

Источник: fb.ru
Похожие материалы
Геометрическая прогрессия и ее свойства Образование
Геометрическая прогрессия и ее свойства

Геометрическая прогрессия имеет важное значение в математике как науке, так и в прикладном значении, поскольку имеет чрезвычайно широкую сферу применения, даже в высшей математике, скажем, в теории рядов. Первые сведе...

Знак Мода
Знак "бесконечность": тату и ее значение

Тату со знаком бесконечности считается одной из самых значимых. Ведь, с одной стороны, это всего лишь математическое число, а с другой, магический символ. Он показывает, что нет начала чему-либо и никогда не будет кон...

Автомобиль «ГАЗель»: трансмиссия и все ее составляющие Автомобили
Автомобиль «ГАЗель»: трансмиссия и все ее составляющие

Сегодня мы подробно рассмотрим трансмиссию грузового автомобиля ГАЗ («ГАЗель»). Предоставим классификацию отдельных ее элементов, разберемся во всех главных узлах и поговорим о том, какое масло выбрать. &l...

Дизель: черный дым из выхлопной трубы. В чем причина и как ее устранить? Автомобили
Дизель: черный дым из выхлопной трубы. В чем причина и как ее устранить?

Дизельные двигатели существенно отличаются от бензиновых. Но проблемы с ними практически такие же, как и с бензиновыми агрегатами. Начитавшись автомобильных форумов, можно увидеть множество всяких тем, где обсуждают т...

Что потребуется для шумоизоляции автомобиля и как ее делать Автомобили
Что потребуется для шумоизоляции автомобиля и как ее делать

Приятно ехать в автомобиле и наслаждаться тишиной. Конечно, добиться полного отсутствия звуков невозможно, но стремиться к этому нужно.Тишина – одна из составляющих комфорта

Зачем нужна покраска суппорта и как ее сделать? Автомобили
Зачем нужна покраска суппорта и как ее сделать?

Покраска суппорта представляет собой комплекс лакокрасочных работ, направленных на улучшение внешнего вида детали и дальнейшую ее защиту от коррозии. Как правило, в качестве материала для данных работ используется спе...

Нихромовая нить и особенности ее применения Бизнес
Нихромовая нить и особенности ее применения

Технологии получения особых металлических сплавов в некоторых отраслях были успешно вытеснены композитами. Этот процесс не останавливается, но есть направления, в которых все еще доминируют более традиционные материал...

Численность списочная: что это такое и как ее узнать? Бизнес
Численность списочная: что это такое и как ее узнать?

Такое понятие, как численность списочная, чаще всего встречается при составлении отчетов. Фактически самому предприятию такие данные не очень нужны, ведь всегда есть возможность поднять информацию из табелей и уточнит...

Что такое мульча и где ее взять? Что такое мульча на огороде Бизнес
Что такое мульча и где ее взять? Что такое мульча на огороде

Содержание приусадебного участка, на котором выращиваются ягоды или овощи, обязательно должно включать мероприятия по защите и питанию растений. При этом если огород небольшой или дачное хозяйство ведется вдали от гор...

Уведомление о начале осуществления предпринимательской деятельности и о ее прекращении Бизнес
Уведомление о начале осуществления предпринимательской деятельности и о ее прекращении

Уведомление о начале осуществления предпринимательской деятельности – необходимый документ при подаче в уполномоченные инстанции при желании открыть свой бизнес вне зависимости от выбранной сферы работы. Что же ...