Среда20 сентября
Образование

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

11 сентября 2017

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

примеры систем линейных уравнений

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

система линейных уравнений 7 класс примеры

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

система линейных неоднородных уравнений примеры

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

решить систему линейных уравнений примеры

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

  1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
  2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
  3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

примеры систем линейных уравнений

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

пример системы двух линейных уравнений

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

система линейных уравнений с тремя переменными примеры

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

решить систему линейных уравнений примеры

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K-1= 1 / |K|, где K-1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + a2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1. Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

матричный метод решения систем линейных уравнений

В примере anm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор xn - переменные, а bn - свободные члены.

матричный метод решения систем линейных уравнений

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

матричный метод решения систем линейных уравнений

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

системы линейных уравнений метод гаусса примеры

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x3-2x4=11 и 3x3+2x4=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных xn.

системы линейных уравнений метод гаусса примеры

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

системы линейных уравнений метод гаусса примеры

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Источник: fb.ru
Похожие материалы
Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений (СЛАУ) Образование
Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Метод простой итерации, называемый также методом последовательного приближения, - это математический алгоритм нахождения значения неизвестной величины путем постепенного ее уточнения. Суть этого метода в том, что, как видно из названия, постепенно выражая из начального приближения последующие, получают все более уточненные результаты. Этот метод используе...

Решение линейных уравнений Образование
Решение линейных уравнений

Для творчества Гаусса свойственна органическая ассоциация между теоретической и практической арифметикой, глубина проблем. Труды Гаусса оказали огромное воздействие на формирование алгебры (подтверждение главный аксиомы этой науки), решение линейных уравнений теории чисел (внутренняя геометрическая поверхность), математическая физика (принцип Гаусса), тео...

Педагогические ситуации и пример их решения. Методы решения сложных педагогических ситуаций Самосовершенствование
Педагогические ситуации и пример их решения. Методы решения сложных педагогических ситуаций

Рассмотрим педагогические ситуации и пример их решения. Пожалуй, эти вопросы не могут не волновать практически любого человека. Почему? Все дело в том, что каждый из нас является либо родителем, либо старшим приятелем, либо чьим-то родственником, а значит, время от времени нам приходится сталкиваться с детскими или подростковыми капризами...

Линейный светильник - стильное решение для современного интерьера Домашний уют
Линейный светильник - стильное решение для современного интерьера

Квартиры, загородные дома, офисные и складские помещения, холлы ресторанов и отелей, торговые залы и административные здания – это далеко не весь перечень мест, где может быть использован для освещения линейный светильник. Светодиодное освещение имеет большой перечень существенных преимуществ в отличие от других способов и вариантов освещения.

Болит копчик, когда сижу: причины и методы решения проблемы Здоровье
Болит копчик, когда сижу: причины и методы решения проблемы

Боль в копчике может быть вызвана как поражением самой кости, так и повреждением мышечного окружения с нервными элементами. На основании многочисленных исследований был сделан вывод о том, что основной причиной такой...

Как использовать ноутбук как монитор для компьютера. Несколько методов решения проблемы Компьютеры
Как использовать ноутбук как монитор для компьютера. Несколько методов решения проблемы

Все мы знаем, что рано или поздно любая техника приходит в негодность. Особенно это важно учитывать в настоящий момент - во времена технического прогресса. Сейчас в каждом доме есть компьютеры, а у кого-то даже не один. Будет очень печально, если у него сломается монитор. Особенно печально, если вам нужно срочно поработать с файлами на компьютере. Ремонт ...

Игра Batman: Arkham Asylum не сохраняется. Причины и методы решения проблемы Компьютеры
Игра Batman: Arkham Asylum не сохраняется. Причины и методы решения проблемы

Серия игр Batman: Arkham уже успела стать настоящим шедевром. Миллионы геймеров с упоением следят за приключениями Темного рыцаря и с нетерпением ждут выхода новых частей. А началось все в далеком 2009 году, когда Batman: Arkham Asylum впервые появилась на полках игровых магазинов.

Как снизить нагрузку на ЦП: основные причины и методы решения проблем Компьютеры
Как снизить нагрузку на ЦП: основные причины и методы решения проблем

Высокая загрузка центрального процессора ПК - довольно распространенная проблема. В данной статье будет дан ответ на вопрос, как снизить нагрузку на ЦП. Windows 10 установлен на вашей машине или любая другая версия ОС, рекомендации в любом случае подойдут.Диспетчер задачЕсли вам необходимо узнать, как сильно нагружен работой центральный пр...

Как уменьшить нагрузку на ЦП: простые, но эффективные методы решения проблемы Компьютеры
Как уменьшить нагрузку на ЦП: простые, но эффективные методы решения проблемы

Когда ПК начинает тормозить, а операции, раньше выполняемые моментально, теперь требуют много времени, высока вероятность того, что центральный процессор излишне загружен. Настоящая статья написала для того, чтобы помочь пользователям разобраться, как уменьшить нагрузку на ЦП.Почему процессор перегружен?При высоком уровне загрузки CPU прои...

Мусор в лесу: вред, методы решения проблемы и последствия Новости и общество
Мусор в лесу: вред, методы решения проблемы и последствия

Сегодня, когда экология планеты находится в состоянии перманентного кризиса, проблемы загрязнения бытовым мусором естественной экологической среды стоят очень остро. Пластиковые бутылки, стекло и другой неразлагающийся мусор в лесу наносят непоправимый вред экосистеме. Воспитание экологической культуры с детства, бережное отношение к природным богатствам ...